Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M（m，0）（m＞0），作直線AB與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）試證明A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
（2）若點(diǎn)N是定直線l：x=-m上的任一點(diǎn)，試探索三條直線AN，MN，BN的斜率之間的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，與y²=2px聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明；
（2）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．設(shè)點(diǎn)N（-m，n），則直線AN的斜率為，直線BN的斜率為，再利用（1）的結(jié)論即可證明．
解答：（1）證明：．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下證之：
設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，與y²=2px聯(lián)立
消去x得y²-2pty-2pm=0，
由韋達(dá)定理得y₁•y₂=-2pm，
（2）解：三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，下證之：
設(shè)點(diǎn)N（-m，n），則直線AN的斜率為，
直線BN的斜率為，
∴=
=
=
又∵直線MN的斜率為，
∴k_AN+k_BN=2k_MN
即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率計(jì)算公式、等差數(shù)列的定義等是解題的關(guān)鍵．