Question

已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時(shí)，試證明aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，∵a²+c²＞2()²=2b²,即命題成立.

（2）設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，有a^k+c^k＞2b^k.

由于a,c為正數(shù)，所以(a^k-c^k)與a-c同號(hào)，即（a^k-c^k）(a-c)＞0,亦即a^k+1+c^k+1＞a^kc+ac^k,

∴a^k+1+c^k+1=12(a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)＞(a^k+1+c^k+1+a^kc+ac^k)

=(a^k+c^k)(a+c)=(a^k+c^k)b＞2b^k+1,

即n=k+1時(shí)成立.

由（1）、（2）,知對(duì)于n＞1且n∈N時(shí)命題成立.