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已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時，試證明aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

答案：
解析：

證明：（1）當(dāng)n=2時，∵a²+c²＞2(

)²=2b²,即命題成立.

（2）設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時，有a^k+c^k＞2b^k.

由于a,c為正數(shù)，所以(a^k-c^k)與a-c同號，即（a^k-c^k）(a-c)＞0,亦即a^k+1+c^k+1＞a^kc+ac^k,

∴a^k+1+c^k+1=12(a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)＞(a^k+1+c^k+1+a^kc+ac^k)

=(a^k+c^k)(a+c)=(a^k+c^k)b＞2b^k+1,

即n=k+1時成立.

由（1）、（2）,知對于n＞1且n∈N時命題成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x²-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠(yuǎn)離2ab

；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠

kπ

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x²-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時，試證明aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時，試證明aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

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