Question

（Ⅰ）已知奇函數(shù)f（x）（x∈R），當x＞0時，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表達式．
（Ⅱ）設定義在[-2，2]上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f（1-m）＜f（m），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)在0處有定義則f（0）=0，又假設x＜0則-x＞0滿足題目中給的條件可得f（-x）的關系式，再由奇函數(shù)定義得到x＜0時函數(shù)f（x）的解析式，最終得到答案．
（2）根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性可得f（|1-m|）＜f（|m|），再由在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減可得關系式進而解題．

解答：解：因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0．
當x＜0時，-x＞0，故有f（-x）=-x[5-（-x）]+1=-x（5+x）+1．
所以f（x）=-f（-x）=x（5+x）-1．
所以f(x)=

x(5-x)+1(x＞0) 0(x=0) x(5+x)-1(x＜0).

（2）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）=f（|x|），
所以不等式f（1-m）＜f（m）?f（|1-m|）＜f（|m|）．
又f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，
所以

|1-m＞|m -2≤1-m≤2 -2≤m≤2.

解得-1≤m＜

1

2

．

點評：（1）主要考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的問題，切忌莫忘x=0時的情況．
（2）主要考查根據(jù)函數(shù)奇偶性解不等式的問題，這里要注意在對稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性相同、偶函數(shù)單調(diào)性相反．