Question

函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+x²，則不等式f（lnx）＜f（1）的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)增區(qū)間，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式f（lnx）＜f（1）即為F|lnx|）＜f（1），
則|lnx|＜1，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集．

解答： 解：函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+x²的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
則x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
且f（-x）=xsinx+cos（-x）+（-x）²=f（x），
則為偶函數(shù)，即有f（x）=f（|x|），
則不等式f（lnx）＜f（1）即為F|lnx|）＜f（1），
則|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得，

1

e

＜x＜e．
故答案為：（

1

e

，e）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用：解不等式，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．