【題目】設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動點(diǎn)的軌跡為.
(1)求軌跡的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡恒有兩個交點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求該圓的方程.
【答案】(1)方程,當(dāng)時,該方程表示兩條直線;當(dāng)時,該方程表示圓;當(dāng)時, 且時,該方程表示橢圓;當(dāng)時,該方程表示雙曲線;(2).
【解析】
試題分析:
(1)要求軌跡方程,本小題用直接法求解,即把已知條件用數(shù)學(xué)式(用坐標(biāo))表示出來即可;
(2)本小題是證明題,涉及到圓與切線,直線與橢圓相交,因此設(shè)圓方程為,圓的切線方程為(斜率存在時),切線與橢圓的交點(diǎn)為,關(guān)鍵是求出,由直線與圓相切可得,即,已知條件為,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,代入消元后可得,代入剛才的,可得關(guān)系,由此關(guān)系應(yīng)該可求得,這時還需驗證斜率不存在的圓的切線也滿足題意.
試題解析:(1),即,故,即.
當(dāng)時,該方程表示兩條直線;當(dāng)時,該方程表示圓;當(dāng)時,且時,該方程表示橢圓;
當(dāng)時,該方程表示雙曲線.
(2)當(dāng)時,軌跡的方程為,設(shè)圓的方程為,當(dāng)切線斜率存在時,可設(shè)圓的任一切線方程為,,所以,即.①
因為,即,整理得
.②
由方程組,消去得.③
由根與系數(shù)的關(guān)系得,
代入②式并整理得,即,結(jié)合①式有,當(dāng)切線斜率不存在時,也滿足題意,
故所求圓的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)A在橢圓上,且與x軸垂直.
(1)求橢圓的方程;
(2)過A作直線與橢圓交于另外一點(diǎn)B,求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,)和函數(shù)(,,).問:(1)證明:在上是增函數(shù);
(2)把函數(shù)和寫成分段函數(shù)的形式,并畫出它們的圖象,總結(jié)出的圖象是如何由的圖象得到的.請利用上面你的結(jié)論說明:的圖象關(guān)于對稱;
(3)當(dāng),,時,若對于任意的恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查,在髙三的全體名學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的體檢表,并得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在以下的人數(shù);
(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對年級名次在名和名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否有的把握認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系?
(3)在(2)中調(diào)查的名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣,求在這人中任取人,恰好有人的年級名次在名的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體中,M,N,E,F(xiàn)分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中點(diǎn),求證:平面AMN∥平面EFDB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,為實數(shù),),.
(1)若,且函數(shù)的值域為,求得解析式;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)時,是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),,,且為偶函數(shù),判斷是否大于零,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( )
A.若直線平面,直線平面,則直線不一定平行于直線
B.若平面不垂直于平面,則內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
C.若平面平面,則內(nèi)一定不存在直線平行于平面
D.若平面平面,平面平面,,則一定垂直于平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,C.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面積為2 ,求b,C.
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