Question

關(guān)于x的函數(shù)y=cos²x-asinx+b，當a=-1時有零點，求此時實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：解法一：當a=-1時y=-sin²x+sinx+b+1，令t=sinx，t∈[-1，1]，則y=-t²+t+b+1，由方程-t²+t+b+1=0的根為

1± 4b+5

2

，可知：若關(guān)于x的函數(shù)y=cos²x-asinx+b有零點，則

1- 4b+5

2

∈[-1，1]，或

1+ 4b+5

2

∈[-1，1]，解得實數(shù)b的取值范圍．
解法二：當a=-1時y=-sin²x+sinx+b+1，令t=sinx，t∈[-1，1]，則y=-t²+t+b+1，令b=t²-t-1，t∈[-1，1]，結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，可得實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解法一：當a=-1時y=cos²x+sinx+b=-sin²x+sinx+b+1，
令t=sinx，t∈[-1，1]，
則y=-t²+t+b+1，
令y=-t²+t+b+1=0，解得t=

1± 4b+5

2

，
若關(guān)于x的函數(shù)y=cos²x-asinx+b有零點，
則

1- 4b+5

2

∈[-1，1]，或

1+ 4b+5

2

∈[-1，1]，
解得：b∈[-

5

4

，1]，
即滿足條件的實數(shù)b的取值范圍為[-

5

4

，1]．
解法二：當a=-1時y=cos²x+sinx+b=-sin²x+sinx+b+1，
令t=sinx，t∈[-1，1]，
則y=-t²+t+b+1，
令b=t²-t-1=（t-

1

2

）²-

5

4

，t∈[-1，1]，
故當t=

1

2

時，b有最小值-

5

4

，
當t=-1時，b有最大值1，
故b∈[-

5

4

，1]，
即滿足條件的實數(shù)b的取值范圍為[-

5

4

，1]．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的零點，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)零點與三角函數(shù)的綜合應用，難度中檔．