Question

20．已知f（x）=$\frac{{{{log}_2}x-1}}{{2{{log}_2}x+1}}$（x＞2），已知f（x₁）+f（2x₂）=$\frac{1}{2}$，則f（x₁x₂）的最小值=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 化簡f（x）=$\frac{{{{log}_2}x-1}}{{2{{log}_2}x+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2lo{g}_{2}x+1}$；從而可得f（x₁）+f（2x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}2{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，從而可得$\frac{1}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$=$\frac{1}{3}$；由不等式的性質可得log₂（x₁x₂）≥4；故f（x₁x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2log（{x}_{1}{x}_{2}）+1}$≥$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：f（x）=$\frac{{{{log}_2}x-1}}{{2{{log}_2}x+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2lo{g}_{2}x+1}$；
f（x₁）+f（2x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}2{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2lo{g}_{2}{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{2lo{g}_{2}2{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{3}$；
即$\frac{1}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$=$\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$=$\frac{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）+lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$≥$\frac{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）+lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}{（\frac{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）+lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{lo{g}_{2}（4{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$；
∴l(xiāng)og₂（4x₁x₂）²≥12；
∴l(xiāng)og₂（x₁x₂）≥4；
f（x₁x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2log（{x}_{1}{x}_{2}）+1}$≥$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了不等式的應用及函數(shù)的單調性的應用，化簡比較困難，屬于中檔題．