Question

10．已知正方形ABCD的邊長為1，以頂點A為起點，其余頂點為終點的向量記為$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3），則|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是$\sqrt{5}$，以C為頂點，其余頂點為終點的向量記為$\overrightarrow{_{m}}$（m=1，2，3），若t=（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$，其中i，j，m，n均屬于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，則t的最小值為-5．

Answer 1

分析 如圖建立直角坐標系．不妨記以A為起點，其余頂點為終點的向量為$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3），分別為$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，以C為起點，其余頂點為終點的向量為$\overrightarrow{_{m}}$（m=1，2，3），分別為$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．再分類討論當i，j，m，n取不同的值時，利用向量的坐標運算計算|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|的最大值和（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$最小值．

解答 解：不妨記以A為起點，其余頂點為終點的向量為其余頂點為終點的向量為$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3），分別為$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，
以C為起點，其余頂點為終點的向量為$\overrightarrow{_{m}}$（m=1，2，3），分別為$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．如圖建立坐標系．

（1）當i=1，j=2，m=1，n=2時，則$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$=（1，0）+（1，1）=（2，1），|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|=$\sqrt{5}$；
（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）當i=1，j=2，m=1，n=3時，則（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）當i=1，j=2，m=2，n=3時，則（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）當i=1，j=3，m=1，n=2時，則$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|=$\sqrt{2}$；
（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同樣地，當i，j，m，n取其它值時，|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|=$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$=-5，-4，或-3．
則|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|最大值為$\sqrt{5}$；（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{_{m}}+\overrightarrow{_{n}}）$的最小值是-5．
故答案為：$\sqrt{5}$；-5．

點評 本小題主要考查平面向量坐標表示、平面向量數(shù)量積的運算等基本知識，考查考查分類討論、化歸以及數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，考查分析問題、解決問題的能