Question

已知直線y=x-4與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，求拋物線的方程．

Answer 1

解：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
將直線y=x-4與拋物線y²=2px（p＞0）可得：x²-（2p+8）x+16=0
∴x₁+x₂=2p+8，x₁x₂=16
∵OA⊥OB
∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴16+（x₁-4）（x₂-4）=0
∴16+x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=0
∴16+16-4（2p+8）+16=0
∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x
分析：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可求得x₁x₂和y₁y₂的關(guān)于p的表達式，根據(jù)OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得p，從而得到拋物線方程．
點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題時直線與拋物線的聯(lián)立是關(guān)鍵．