Question

9．求函數(shù)y=$\frac{2x^2+2x+5}{x^2+x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)變成$y=2+\frac{3}{{x}^{2}+x+1}$，可配方${x}^{2}+x+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，這樣便可得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：y=$\frac{2（{x}^{2}+x+1）+3}{{x}^{2}+x+1}=2+\frac{3}{{x}^{2}+x+1}$；
${x}^{2}+x+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+x+1}≤\frac{4}{3}$；
∴2＜y≤6；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?，6]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)法在求值域中的運(yùn)用，配方法求函數(shù)的范圍，不等式的性質(zhì)．