Question

20．我們把同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為M函數(shù)：
（1）對(duì)任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
（2）當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
①f（x）=x²②f（x）=x²+1③f（x）=lnx²④f（x）=2^x-1
則以上四個(gè)函數(shù)中是M函數(shù)的有①③④（填寫編號(hào)）

Answer 1

分析 利用已知條件函數(shù)的新定義，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證兩個(gè)條件，判斷即可．

解答 解：在[0，1]上，四個(gè)函數(shù)都滿足：對(duì)任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1；
對(duì)于①，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x₁²+x₂²）=2x₁x₂≥0，
∴①f（x）=x²是M函數(shù)；
對(duì)于②，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=[（x₁+x₂）²+1]-[（x₁²+1）+（x₂²+1）]=2x₁x₂-1＜0，
∴②f（x）=x²+1不是M函數(shù)；
對(duì)于③，f（x）=lnx=2lnx，
f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2ln（x₁+x₂）-（2lnx₁+2lnx₂）=ln$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$，
而x₁≥0，x₂≥0，
∴x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{1}{+x}_{2}}^{\;}}{{{x}_{1}}^{\;}•{{x}_{2}}^{\;}}$≥2，即$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$≥4

∴l(xiāng)n$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$≥ln4≥0，

∴③f（x）=lnx²是M函數(shù)；
對(duì)于④，f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（2^x₁+x₂-1）-（2^x₁-1+2^x₂-1）
=2^x₁2^x₂-2^x₁-2^x₂+1=（2^x₁-1）（2^x₂-1）≥0，∴④f（x）=2^x-1是M函數(shù)；
綜上所述，上四個(gè)函數(shù)中是M函數(shù)的有：①③④，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．