已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1(a＞1)的上頂點為M（0，1），兩條過M點動弦MA、MB滿足MA⊥MB．
（1）當(dāng)坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時，求此時橢圓E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面積的最大值為
27
8
，求a的值；
（3）對于給定的實數(shù)a（a＞1），動直線是否經(jīng)過一個定點？如果經(jīng)過，求出該定點的坐標(biāo)（用a表示）否則，說明理由．
分析：（1）求出坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時c=1，利用a2=b2+c2，即可求得橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為y=-
1
k
x+1，分別代入橢圓E的方程，求得A、B的坐標(biāo)，從而可求直角三角形MAB的面積，利用最大值為
27
8
，可求a的值；
（3）由（2）知直線l的斜率，從而可求直線l的方程，由此可得直線l過定點．
解答：解：（1）坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離為d=
a2
c
=
c2+1
c
≥2，當(dāng)且僅當(dāng)c=1時，坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短
∵c=1，b=1，∴a2=b2+c2，∴a2=2
∴橢圓E的方程為
x2
2
+y2=1
（2）由MA⊥MB，可知直線MA與坐標(biāo)軸不垂直，
故可設(shè)直線MA的方程為y=kx+1，直線MB的方程為y=-
1
k
x+1
將y=kx+1代入橢圓E的方程，整理得  （1+a2k2）x2+2a2kx=0
解得x=0或x=
-2a2k
1+a2k2
，故點A的坐標(biāo)為(
-2a2k
1+a2k2
，
1-a2k2
1+a2k2
)
同理，點B的坐標(biāo)為(
2a2k
k2+a2
，
k2-a2
k2+a2
)
∴S=
1
2
1+k2
2a2|k|
1+a2
×
1+
1
k2
2a2|k|
k2+a2
=
2a4(k2+1)|k|
(1+a2k2)(k2+a2)
=2a4×
|k|+
1
|k|
(1+a2k2)(1+
a2
k2
)

=2a4×
t
(1+a4)+a2(t2-2)
=
2a4
(1-2a2+a4)
t
+a2t
≤
2a4
2a(a2-1)
=
a3
a2-1
=
27
8
，
解得a=3
（3）由（2）知直線l的斜率為
k2-a2
k2+a2
-
1-a2k2
1+a2k2
2a2k
k2+a2
-
-2a2k
1+a2k2
=
k2-1
(a2+1)k

直線l的方程為y=
k2-1
(a2+1)k
(x-
2a2k
k2+a2
)+
k2-a2
k2+a2
，即y=
k2-1
(a2+1)k
x-
a2-1
a2+1

∴直線l過定點(0，-
a2-1
a2+1
)
點評：本題考查橢圓方程，考查三角形的面積，考查直線過定點，解題的關(guān)鍵是正確求出三角形的面積、直線的方程．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點，求△OMN面積的最大值．

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