Question

若函數(shù)f（x）=的值域為[-1，5]，求實數(shù)a、c．

Answer 1

解：由y=f（x）=，得x²y-ax+cy-1=0．
當(dāng)y=0時，ax=-1，∴a≠0．
當(dāng)y≠0時，∵x∈R，∴△=a²-4y（cy-1）≥0．
∴4cy²-4y-a²≤0．∵-1≤y≤5，
∴-1、5是方程4cy²-4y-a²=0的兩根．
∴∴
故a=±，c=
分析：令y=，將其變?yōu)閤²y-ax+cy-1=0，此方程一定有根，當(dāng)y=0時，滿足方程有根，當(dāng)當(dāng)y≠0時，必有△≥0，由此得到關(guān)于y的不等式，再根據(jù)不等式的解集與對應(yīng)方程的根的關(guān)系，知-1、5是方程4cy²-4y-a²=0的兩根，故可得關(guān)于參數(shù)a，c的方程，解方程求值即可．
點評：本題是判別式法求值域的變形運用，其特點是變形得到關(guān)于函數(shù)值的不等式，再由不等式的解集端點與相應(yīng)方程式根的關(guān)系建立參數(shù)方程求參數(shù)，判斷別式法求值域是應(yīng)用較少的一個技巧，運用時易忘掉二次項為0時的討論，用此法作題時應(yīng)注意．求f（x）=（a₁²+a₂²≠0）的值域時，常利用函數(shù)的定義域非空這一隱含的條件，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用△≥0轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)值的不等式．求解時，要注意二次項系數(shù)為字母時要討論．