Question

已知函數f（x）=2acos²x+bsinxcosx（a＞0，b＞0），f（x）的最大值為1+a，最小值為-

1

2

．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的二倍角公式及和角的正弦公式化簡函數f（x）為f(x)=

a2+ b2 4

sin(2x+φ)+a，據f（x）的最值列出關于a，b的方程組，求出a，b的值，代入f（x），利用三角函數的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（II）令f（x）中的整體角滿足：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出x的范圍，寫成區(qū)間即為f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答：解：（I）f(x)=a(1+cos2x)+

b

2

sin2x=

a2+ b2 4

sin(2x+φ)+a，
由題設知

a2+ b2 4

=1，a-

a2+ b2 4

=-

1

2

，
所以a=

1

2

，b=

3

…（4分）
所以f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
所以f（x）的最小正周期為π…（7分）
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以f（x）單調增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（13分）

點評：解決三角函數的有關性質問題，一般先將三角函數化為只含一個角一個函數的形式，然后利用整體角處理的方法來解決，屬于中檔題．