已知正實數(shù)x,y滿足等式x+y+8=xy,若對任意滿足條件的x,y,都有不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
(-∞,
]
分析:先根據(jù)等式確定x+y≥8,再將對任意滿足條件的正實數(shù)x,y,都有不等式(x+y)
2-a(x+y)+1≥0,轉(zhuǎn)化為
對任意滿足條件的正實數(shù)x,y恒成立,求出右邊的最小值,即可得到結(jié)論.
解答:∵正實數(shù)x,y滿足等式x+y+8=xy
∴x+y+8≤
∴(x+y-8)(x+y+4)≥0
∵x+y+4≥0
∴x+y-8≥0
∴x+y≥8(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時,取等號)
∵對任意滿足條件的正實數(shù)x,y,都有不等式(x+y)
2-a(x+y)+1≥0
∴
對任意滿足條件的正實數(shù)x,y恒成立
令t=x+y(t≥8),則f(t)=t+
在(8,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)
∴f(t)=t+
(當(dāng)且僅當(dāng)t=8,即x=y=4時,取等號)
∴
∴實數(shù)a的取值范圍是(-∞,
]
故答案為:(-∞,
]
點評:本題考查基本不等式的運用,考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值,考查恒成立問題,解題的關(guān)鍵是將對任意滿足條件的正實數(shù)x,y,都有不等式(x+y)
2-a(x+y)+1≥0,轉(zhuǎn)化為
對任意滿足條件的正實數(shù)x,y恒成立.