Question

若α，β是關(guān)于x的一元二次方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的兩根，且|α-β|≤2

2

，求θ的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,根與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由已知可求得α²+β²=2cos²θ+8cosθ+4，αβ=cos²θ，從而由|α-β|≤2

2

可求得cosθ≤

1

2

，從而可求θ的范圍．

解答： 解：若α，β是關(guān)于x的一元二次方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的兩根，
則有：△=4（cosθ+1）²-4cos²θ=4+8cosθ＞0，可得：cosθ＞-

1

2

，
則有：α+β=-

b

a

=-2（cosθ+1）；αβ=cos²θ．
故有（α+β）²=α²+β²+2αβ=4（cosθ+1）²=4cos²θ+8cosθ+4，
故：α²+β²=2cos²θ+8cosθ+4
∵|α-β|≤2

2

，∴（α-β）²≤8，
故α²+β²-2αβ=2cos²θ+8cosθ+4-2cos²θ=8cosθ+4≤8
從而得：cosθ≤

1

2

．
故：-

1

2

＜cosθ≤

1

2

故θ的范圍為：[2kπ+

π

3

，2kπ+

2π

3

）∪（2kπ+

4π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．