Question

已知三棱柱ADF-BCE中，DF⊥平面ABCD，AD=DC，G是DF的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：BF∥平面ACG；
（Ⅱ）求證：平面ACG⊥平面BDF．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連接OG．根據(jù)三角形中位線定理證出OG∥BF，再結(jié)合線面平行的判定定理，可得BF∥平面ACG；
（II）證明AC⊥平面BDF，即可證明平面ACG⊥平面BDF．

解答： 證明：（Ⅰ）設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)OG，
∵AD=DC∴ABCD為菱形，
∴O為BD的中點(diǎn)，
∵G是FD的中點(diǎn)，
∴OG∥BF；
又∵OG?平面AGCBF?平面AGC，
∴BF∥平面ACG…（6分）
（Ⅱ）∵ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又∵DF⊥平面ABCDAC?平面ABCD，
∴DF⊥AC；
又∵BD∩DF=DBD、DF?平面BDF，
∴AC⊥平面BDF，
又∵AC?平面ACG，
∴平面ACG⊥平面BDF．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出特殊的三棱柱，求證線面平行、平面與平面垂直，著重考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定等知識，屬于中檔題．