Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=4S_n-1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_na_n+1=4S_n-1，可得當(dāng)n≥2時，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_n≠0，兩式相減化為a_n+1-a_n-1=4，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，進(jìn)而得出；
（2）b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a_na_n+1=4S_n-1，∴當(dāng)n≥2時，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_na_n+1-a_n-1a_n+1=4a_n，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=4，
當(dāng)n=1時，a₁a₂=4a₁-1，a₁=1，解得a₂=3，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，公差為4，首項分別為1，3．
∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時，a_n=a_2k-1=1+4（k-1）=4k-3=2n-1；
當(dāng)n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，a_n=a_2k=3+4（k-1）=2n-1．
可得a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．