Question

函數(shù)y=sinπc（x∈R）的部分圖象如圖所示，設O為坐標原點，P是圖象的最高點，B是圖象與x軸的交點，則tan∠OPB

8

．

Answer 1

分析：過P作PQ垂直于x軸，由正弦函數(shù)解析式y(tǒng)=sinπc，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，且P是圖象的最高點，B是圖象與x軸的交點，
找出P和B的坐標，進而得到|PQ|，|OQ|，|BQ|的長，分別在直角三角形OPQ和PQB中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，由∠OPB=∠OPQ+∠BPQ，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan∠OPB，把各自的值代入即可求出tan∠OPB 的值．

解答：解：過P作PQ⊥x軸，如圖所示：

∵函數(shù)y=sinπc，且P是圖象的最高點，B是圖象與x軸的交點，
∴P（

1

2

，1），B（2，0），即|PQ|=1，|OQ|=

1

2

，|OB|=2，
∴|QB|=|OB|-|OQ|=

3

2

，
在Rt△OPQ中，tan∠OPQ=

|OQ|

|PQ|

=

1

2

，
在Rt△PQB中，tan∠BPQ=

|BQ|

|PQ|

=

3

2

，
∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）=

1 2 + 3 2

1- 1 2 × 3 2

=8．
故答案為：8

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，銳角三角函數(shù)定義，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中作出輔助線PQ，找出P和B的坐標是解本題的關鍵．