Question

已知函數(shù)y=4cos²（2π-x）+4

3

cos（

π

2

-x）cosx-2，x∈R
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的最大值及其相對應(yīng)的x值；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)的最大值及其相對應(yīng)的x值；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：y=4cos²（2π-x）+4

3

cos（

π

2

-x）cosx-2，
即y=2（1+cos2x）+2

3

sin2x-2
=2cos2x+2

3

sin2x
=4cos（2x-

π

3

），或y=4sin（2x+

π

6

），
（1）則函數(shù)的周期T=

2π

2

=π．
（2）當(dāng)2x-

π

3

=2kπ，k∈Z，（或2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z），
解得x=

π

6

+kπ，k∈Z，此時函數(shù)取得最大值．
（3）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ，k∈Z（或2kπ-

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z）
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
所以增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡是即可得到結(jié)論．