Question

已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+

π

4

）=

2

，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系．在直角坐標(biāo)系下，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），把曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）得到曲線C₂．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C₂的普通方程；
（2）若點(diǎn)Q是曲線C₂上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用平方關(guān)系消去φ得到曲線C₁的直角坐標(biāo)方程即可；
（2）求出曲線C₂的參數(shù)方程，以及Q到直線l的距離，判斷出點(diǎn)Q到直線l的最大值是多少即可．

解答： 解：（1）∵ρcos（θ+

π

4

）=

2

∴

2

2

(ρcosθ-ρsinθ)=

2

∴ρcosθ-ρsinθ-2=0
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y-2=0；
將曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），化為普通方程為x²+y²=4，
把曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）得到曲線C₂：x2+

y2

4

=1．
（2）曲線C₂：x2+

y2

4

=1的參數(shù)方程為

x=cosθ y=2sinθ

，（θ為參數(shù)）
因?yàn)辄c(diǎn)Q是曲線C₂上任意一點(diǎn)，故設(shè)Q（cosθ，2sinθ）
所以Q到直線l的距離d=

|cosθ-2sinθ-2|

2

=

|- 5 sin(θ-β)-2|

2

（其中tanβ=

1

2

）
因此當(dāng)sin（θ-β）=1時(shí)，d取得最大值，最大值為

10

2

+

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，考查了點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．