Question

【題目】已知圓以原點(diǎn)為圓心，且圓與直線相切.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若直線：與圓交于、兩點(diǎn)，分別過、兩點(diǎn)作直線的垂線，交軸于、兩點(diǎn)，求線段的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）化直線方程為一般式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的半徑，則圓的方程可求；

（Ⅱ）由點(diǎn)到直線距離公式求出O到AB的距離，結(jié)合垂徑定理求出AB，過C點(diǎn)作CE⊥BD垂足為E，可得CE＝AB＝2．結(jié)合yx+2的傾斜角為30°，求解三角形可得線段CD的長．

（Ⅰ）把直線化為一般式，得，

原點(diǎn)到直線的距離，

∴圓的半徑，∴圓的方程為.

（Ⅱ）依題意畫出示意圖，如圖.

點(diǎn)到直線：的距離，

∵圓的半徑為2，∴，

過點(diǎn)作垂足為，∴，

又∵的傾斜角為，∴，

∴，∴線段的長為.