Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求EC與平面ABCD成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于O點(diǎn)，連結(jié)OE，利用矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得PB∥OE，再用線面平行判定定理即可證出PB∥平面MAC；
（II）取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF，可得EF為△PAD的中位線，得EF

∥

.

1

2

PA．結(jié)合PA⊥平面ABCD，得EF⊥平面ABCD，所以∠FEC是直線EC與平面ABCD成角．Rt△EFC中，算出CF和EF的長，利用正切的定義算出tan∠ECF=

2

4

，即得EC與平面ABCD成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于O點(diǎn)，連結(jié)OE，
∵四邊形ABCD為矩形，∴O為BD的中點(diǎn)
可得在△PBD中，OE是中位線，∴PB∥OE
∵PB?平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面MAC．
（II）取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF
∵△PAD中，EF為中位線，∴EF

∥

.

1

2

PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
因此，∠FEC是直線EC與平面ABCD成角
∵Rt△CDF中，DF=

1

2

AD=2，CD=AB=2
∴CF=

DF2+CD2

=2

2

∵Rt△EFC中，EF=

1

2

PA=1，
∴tan∠ECF=

EF

CF

=

2

4

即EC與平面ABCD成角的正切值是

2

4

．

點(diǎn)評：本題在四棱錐中證明線面平行，并求直線與平面所成角大�。�著重考查了線面平行判定定理、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．