Question

12．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，sinx+cosx），記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函數(shù)f（x）的最大以及取最大值時x的取值集合；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=2，c=$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運算化簡可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解f（x）的最大以及取最大值時x的取值集合；
（2）由已知及（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，結(jié)合0＜C＜π，解得C，由余弦定理得ab≤3，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分15分）
解（1）由題意，得f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），（4分）
∴y_max=2．（5分）
當f（x）取最大值時，即sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，此時2x-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$（k∈Z），解得：x=k$π+\frac{π}{3}$，（k∈Z），（6分）
所以x的取值集合為：{x|x=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z}． （7分）
（2）因f（C）=2，由（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，又0＜C＜π，即$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得$C=\frac{π}{3}$，（10分）
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，（11分）
得3=a²+b²-ab≥ab，即ab≤3，（13分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC$（14分）
所以△ABC面積的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．（15分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．