Question

15．已知命題p：?x∈[-1，1]，x²+x+m≥0，命題q：?x∈[-1，1]，m+2^x≤0．若“p或q”為真，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q為真時(shí)m的范圍，根據(jù)“p或q”為真，得到不等式組，解出即可．

解答 解：關(guān)于命題p：?x∈[-1，1]，x²+x+m≥0，
∴m≥-x²-x在x∈[-1，1]恒成立，
令f（x）=-x²-x=-${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，x∈[-1，1]，
對(duì)稱軸x=-$\frac{1}{2}$，開(kāi)口向下，
∴f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$）遞增，在（-$\frac{1}{2}$，1]遞減，
∴f（x）_最大值=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴命題p為真時(shí)：m≥$\frac{1}{4}$；
關(guān)于命題q：?x∈[-1，1]，m+2^x≤0，
即?x∈[-1，1]，使得m≤-2^x，
只需求出g（x）=-2^x在x∈[-1，1]上的最大值即可，
g（x）_最大值=-$\frac{1}{2}$，
∴命題q為真時(shí)：m≤-$\frac{1}{2}$，
若“p或q”為真，
則p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{4}}\\{m＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：m≥$\frac{1}{4}$，
p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{m＜\frac{1}{4}}\\{m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：m≤-$\frac{1}{2}$．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍m$≤-\frac{1}{2}$或m≥$\frac{1}{4}$，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．