Question

若函數(shù)y=sinx+acosx在區(qū)間[0，

π

6

]上是單調(diào)函數(shù)，且最大值為

1+a2

，則實(shí)數(shù)a=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)輔角公式進(jìn)行化簡，再由y=sinx+acosx在區(qū)間[0，

π

6

]上的單調(diào)性可得到x=

π

6

時y=sinx+acosx取到最大值，即sin

π

6

+acos

π

6

=

1+a2

，進(jìn)而可得到a的值．

解答：解：∵y=sinx+acosx=

1+a2

sin（x+ρ）在區(qū)間[0，

π

6

]上是單調(diào)函數(shù)
∴當(dāng)x=

π

6

時y=sinx+acosx取到最大值

1+a2

∴sin

π

6

+acos

π

6

=

1

2

+

3

2

a=

1+a2

∴a2-2

3

a+3=0∴a=

3

，
當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最大值為a=

1+a2

，顯然不成立．
綜上a=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查輔角公式的應(yīng)用和三角函數(shù)的單調(diào)性．高考對三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，平時要注意基礎(chǔ)知識的積累和靈活運(yùn)用．