Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2lnx．
（1）求證：f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）若f（x）≥2tx﹣ 在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=2x﹣ = ，

由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：由f（x）≥2tx﹣ 對x∈（0，1]恒成立，得2t≤x+ ﹣ ．

令h（x）=x+ ﹣ ，則h′（x）= ，

因為x∈（0，1]，所以x4﹣3＜0，﹣2x2＜0，

2x2lnx＜0，x4＞0，

所以h′（x）＜0，

所以h（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

所以當x=1時，h（x）=h（x）=x+ ﹣ ，有最小值2，得2t≤2，

所以t≤1，故t的取值范圍是（﹣∞，1]

【解析】（1）先求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，（2）要求若f（x）≥2tx﹣ 在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，即轉(zhuǎn)化為2t≤x+ ﹣ 在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，只需求h（x）=x+ ﹣ x∈（0，1]內(nèi)的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．