Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x∈R，都有f（x+16）=f（x）+f（8）成立，若函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則
f（2008）=（ ）
A．0
B．1008
C．8
D．2008

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱且由y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，在已知條件中令x=-8可求f（8）及函數(shù)的周期，利用所求周期即可求解
解答：解：∵函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱且把y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)
∵f（x+16）=f（x）+f（8）
令x=-8可得f（8）=f（-8）+f（8）=2f（8），則f（8）=0
從而可得f（x+16）=f（x）即函數(shù)是以16為周期的周期函數(shù)
∴f（2008）=f（125×16+8）=f（8）=0
故選A
點(diǎn)評：本題主要考出了函數(shù)的圖象的平移及函數(shù)圖象的對稱性的應(yīng)用，利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)周期的求解是解答本題的關(guān)鍵所在