【題目】已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)為,長(zhǎng)軸與短軸的比為2:1.直線(xiàn)與橢圓E交于PQ兩點(diǎn),其中為直線(xiàn)的斜率.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,問(wèn):是否存在一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的定圓O,不論直線(xiàn)的斜率取何值,定圓O恒與直線(xiàn)相切?如果存在,求出圓O的方程及實(shí)數(shù)m的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) (2)存在,.的取值范圍是

【解析】

（1）根據(jù)題意直接計(jì)算出得到答案.

（2）設(shè)直線(xiàn)OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,聯(lián)立方程組，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為d,則有，得到，計(jì)算得到答案.

(1)由已知得:解得:橢圓E的方程為

(2)假設(shè)存在定圓O,不論直線(xiàn)的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線(xiàn)相切.

這時(shí)只需證明坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為定值即可.

設(shè)直線(xiàn)OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,

聯(lián)立方程組

①

以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,

,直線(xiàn)OQ的方程為:

在①式中以換t,得②

又由知:

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為d,則有

又當(dāng)直線(xiàn)OP與軸重合時(shí),此時(shí)

由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線(xiàn)的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線(xiàn)相切,定圓O的方程為:.

直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為,且點(diǎn)不可能在圓O內(nèi),又當(dāng)k=0時(shí),直線(xiàn)與定圓O切于點(diǎn),所以的取值范圍是

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線(xiàn)l與橢圓C相交于AB兩點(diǎn),且滿(mǎn)足∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|AB|的取值范圍.

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且．正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，其前7項(xiàng)和為42．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）將數(shù)列，的項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在前面；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，放在前面”的要求進(jìn)行排列，得到一個(gè)新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，…，求這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

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【題目】如圖，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，.平面平面ABD，點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè)，且，.點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，連接EF.

（1）求證：平面ABC；

（2）求證：平面平面ABD.

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【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線(xiàn)段上，且。將沿折起，使點(diǎn)到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

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【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有.

（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；

（3）若

①記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②求的值.

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【題目】橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，0），且右焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如果直線(xiàn)l的斜率等于-1，求出k1k2的值；

（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案