【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≤0時(shí),f(x)=log (-x+1).
(1)求f(0),f(1);
(2)求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)f(0)=0,f(1)=-1;(2);(3)(-∞,0)∪(2,+∞).
【解析】試題分析:(1)代入x的值,求出函數(shù)值即可;
(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式即可;
(3)通過討論a的范圍,得到關(guān)于a的不等式,解出即可.
試題解析:
(1)因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí),f(x)=log (-x+1),
所以f(0)=0.
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
所以f(1)=f(-1)=log [-(-1)+1]=log2=-1,
即f(1)=-1.
(2)令x>0,則-x<0,
從而f(-x)=log (x+1)=f(x),
∴x>0時(shí),f(x)=log (x+1).
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
(3)設(shè)x1,x2是任意兩個(gè)值,且x1<x2≤0,
則-x1>-x2≥0,
∴1-x1>1-x2>0.
∵f(x2)-f(x1)=log (-x2+1)-log (-x1+1)=log>log1=0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)=log (-x+1)在(-∞,0]上為增函數(shù).
又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).
∵f(a-1)<-1=f(1),
∴|a-1|>1,解得a>2或a<0.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0)∪(2,+∞).
點(diǎn)睛: 本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題目.證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:(1)取值:在定義域上任取,并且(或);(2)作差: ,并將此式變形(要注意變形到能判斷整個(gè)式子符號(hào)為止);(3)定號(hào);(4)下結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)令,若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),且,又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.試比較與0的關(guān)系,并給出理由.
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【題目】已知函數(shù)在x = 2處的切線與直線垂直.
(Ⅰ)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在,使成立,求m的最小值.
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【題目】二分法是求方程近似解的一種方法,其原理是“一分為二、無限逼近”.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的值( )
A. B. C. D.
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【題目】已知圓C的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為.若直線與圓C相交于不同的兩點(diǎn)P,Q.
(Ⅰ)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程,并求圓心的坐標(biāo)與半徑;
(Ⅱ)若弦長|PQ|=4,求直線的斜率.
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【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,選題情況統(tǒng)計(jì)如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對(duì)的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯(cuò)的學(xué)生中任意抽取兩人對(duì)他們的答題情況進(jìn)行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,分別為,的中點(diǎn),平面平面,且.
(1)求證:平面;
(2)求三棱錐的體積.
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【題目】已知拋物線: 的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為其上一點(diǎn),且.
(1)求與的值;
(2)如圖,過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn),求直線、的斜率之積.
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【題目】已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(Ⅰ)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)CD=時(shí),求直線CD的方程.
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