Question

19．已知定圓C：x²+（y-3）²=4，過(guò)M（-1，0）的直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，
（1）當(dāng)|PQ|=2$\sqrt{3}$時(shí)，求直線l的方程；
（2）求△CPQ（C為圓心）面積的最大值，并求出當(dāng)△CPQ面積取得最大值時(shí)的直線l方程．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用C到l的距離d=1，即可求直線l的方程；
（2）表示出面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-1符合題意；…（2分）
當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
由于|PQ|=2$\sqrt{3}$，
所以C到l的距離d=$\sqrt{4-（\frac{|PQ|}{2}）^{2}}$=1
由$\frac{|-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$．…（4分）
故直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（2）設(shè)C到直線l的距離為d，則|PQ|=2$\sqrt{4-p4nsokn^{2}}$，…（7分）
∴△CPQ面積S=$\frac{1}{2}d•|PQ|$=d$\sqrt{4-ixsueso^{2}}$≤$\frac{rp93b7p^{2}+4-oikw4m4^{2}}{2}$=2，…（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)d²=4-d²，即d=$\sqrt{2}$時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不合題意；…（10分）
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），d=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$
解得：k=-7或k=1，…（11分）
∴直線l的方程是：7x+y+7=0或x-y+1=0． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的點(diǎn)斜式方程，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合題．