Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點(diǎn)C為⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，平面ABC，且，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn).

（1）求證：平面VAC；

（2）若AB與平面VAC所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面VAC；

(2)由AB與平面VAC所成角的余弦值為，求出，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

(1)證明：因?yàn)?/span>平面ABC，平面ABC，

所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且AB為直徑，

所以，

又因?yàn)?/span>VC，平面VAC，，

所以平面VAC.

(2)由(1)知平面VAC，

所以AB與平面VAC的所成角就是，

在，，，

.

由(1)得，，，分別以AC，BC，VC，

所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz如圖：

則，，，

設(shè)平面VAC的法向量，，，

設(shè)平面VAM的法向量，

由，令，

得，.

設(shè)二面角M-VA-C的平面角為，

所以，所以所求二面角的余弦值為.