Question

（本題滿分13分）某廠家舉行大型的促銷活動(dòng),經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí),銷售量萬(wàn)件滿足（其中,為正常數(shù)）. 現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)件還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用）,產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù);

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.

Answer 1

（1），；

（2）當(dāng)時(shí), 促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大；當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=定價(jià)銷售量-成本列出函數(shù)式；（2）利用基本不等式與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

解題思路:解決函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審清題意，從題意中提煉出有關(guān)數(shù)學(xué)量和關(guān)系式，將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解.

試題解析：（1）由題意知,該產(chǎn)品售價(jià)為萬(wàn)元,

, 代入化簡(jiǎn)得

,（） 5分

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式取等號(hào) 8分

當(dāng)時(shí), 促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大; 10分

當(dāng)時(shí),,故在 上單調(diào)遞增,所以在x=a時(shí),函數(shù)有最大值.促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大 12分

綜上所述,當(dāng)時(shí), 促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大；當(dāng)時(shí),促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大 13分.

考點(diǎn)：1.函數(shù)模型的應(yīng)用；2.基本不等式；3.函數(shù)的最值.