Question

（2013•浙江模擬）在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）設(shè)D是BB₁的中點，DC₁與平面A₁BC₁所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高變化時，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AA₁=h，則可得B、B₁、C₁、A₁各點的坐標(biāo)，得到向量

B1C1

、

A1C1

、

A1B

的坐標(biāo)，然后根據(jù)異面直線A₁B與B₁C₁所成的角60°，結(jié)合空間向量夾角公式建立關(guān)于h的方程，解之可得h=1，即得該棱柱的高；
（II）根據(jù)（I）所建立的坐標(biāo)系，可得D(1，0，

h

2

)，從而有

DC1

=(-1，1，

h

2

)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出

n

=(h，0，1)是平面平面A₁BC₁的一個法向量，再用直線與平面所成角的定義得

n

與

DC1

夾角的余弦值等于sinθ，由此建立sinθ關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求最值即可得到：當(dāng)且僅當(dāng)h=

4	8

時，sinθ取到最大值．由此即可得到sinθ的最大值．

解答：解：分別以AB、AC、AA₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AA₁=h（h＞0），則有B（1，0，0），B₁（1，0，h），C₁（0，1，h），A₁（0，0，h），

B1C1

=(-1，1，0)，

A1C1

=(0，1，0)，

A1B

=(1，0，-h)…（2分）
（Ⅰ）∵異面直線A₁B與B₁C₁所成的角60°，
∴cos60°=

| B1C1 • A1B |

| B1C1 |•| A1B |

，即

1

2 • h2+1

=

1

2

，
得

1+h2

=

2

，解得h=1，即得該棱柱的高為1．（6分）
（Ⅱ）∵D是BB₁的中點，得D(1，0，

h

2

)，
∴可得

DC1

=(-1，1，

h

2

)．
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，于是

n

⊥

A1B

，

n

⊥

A1C1

，
可得

n • A1B =0 n • A1C1 =0

，即

x-hz=0 y=0，

，可取

n

=(h，0，1)，（8分）
于是sinθ=|cos＜

DC1

，

n

＞|．
而|cos＜

DC1

，

n

＞|=

| DC1 • n |

| DC1 || n |

=

|-h+ h 2 |

h2+1 • 1 4 h2+2

=

h

h4+9h2+8

．
令f(h)=

h

h4+9h2+8

=

1

h2+ 8 h2 +9

，（10分）
∵h2+

8

h2

+9≥2

8

+9，當(dāng)且僅當(dāng)h2=

8

h2

，即h=

4	8

時，等號成立．
∴f(h)≤

1

9+2 8

=

1

8 +1

=

2 2 -1

7

，
故當(dāng)h=

4	8

時，sinθ的最大值

2 2 -1

7

．（12分）

點評：本題給出直三棱柱，在已知上下底面為等腰直角三角形且異面直線所成角為60度的情況下求棱柱的高，并討論直線所平面所成角的正弦值．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．