Question

14．化簡求值：
（1）（1+tan²θ）cos²θ
（2）已知$tanθ=-\frac{3}{4}$，求2+sinθcosθ-cos²θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用“切化弦”的思想求解．
（2）利用“切化弦”的思想，在結合同角三角函數關系式求解．

解答 解：（1）（1+tan²θ）cos²θ
原式=$\frac{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}×co{s}^{2}θ$=sin²θ+cos²θ=1
（2）法一：∵$tanθ=-\frac{3}{4}$，
∴sinθ=$-\frac{3}{4}$cosθ，
由sin²θ+cos²θ=1．
可得：$\frac{9}{16}co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1$，
∴cos²θ=$\frac{16}{25}$
那么：2+sinθcosθ-cos²θ=2-$\frac{3}{4}$cos²θ-cos²θ=2-$\frac{7}{4}co{s}^{2}θ$=2-$\frac{7}{4}×\frac{16}{25}$=$\frac{22}{25}$．
法二：由2+sinθcosθ-cos²θ=$\frac{2（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）+sinθcosθ-co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2ta{n}^{2}θ+2+tanθ-1}{ta{n}^{2}θ+1}$
∵$tanθ=-\frac{3}{4}$，
∴$\frac{2ta{n}^{2}θ+2+tanθ-1}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{2×\frac{9}{16}+1-\frac{3}{4}}{\frac{9}{16}+1}$=$\frac{22}{25}$
故得$tanθ=-\frac{3}{4}$，則2+sinθcosθ-cos²θ的值為$\frac{22}{25}$．

點評 本題考查了利用“切化弦”的思想，和同角三角函數關系式的計算能力．