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已知函數f(x)=log
1
2
x與函數g（x）的圖象關于y=x對稱，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則
4
a
+
1
b
的最大值為
-9
-9

（2）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=g（x）-1，若關于x的方程f（x）-lo
g
(x+2)
a
=0（a＞1）在區(qū)間（-2，6]內恰有三個不同實根，則實數a的取值范圍是
(
34
，2)
(
34
，2)
．
分析：（1）根據題意，由反函數的定義以及對數函數、指數函數的性質可得g（x）=（
1
2
）x=2-x，進而結合題意可得2-（a+b）=2，即a+b=-1，對
4
a
+
1
b
變形可得其等于-[5+
4b
a
+
a
b
]，由基本不等式的性質可得
4b
a
+
a
b
≥4，代入
4
a
+
1
b
=-[5+
4b
a
+
a
b
]可得其最大值，即可得答案．
（2）根據題意，分析可得函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，將方程f（x）-logax+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為函數f（x）的與函數y=-logax+2的圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：（1）根據題意，g（x）=（
1
2
）x=2-x，
若g（a）g（b）=2，則有2-（a+b）=2，即a+b=-1，
則
4
a
+
1
b
=-[（-a）+（-b）][
4
-a
+
1
-b
]=-[5+
4b
a
+
a
b
]，
又由a＜0，b＜0，則
4b
a
＞0且
a
b
＞0，故
4b
a
+
a
b
≥4，
則
4
a
+
1
b
=-[5+
4b
a
+
a
b
]≤-9，
即
4
a
+
1
b
的最大值為-9；
（2）對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4．
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（
1
2
）x-1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，
若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3個不同的實數解，
則函數y=f（x）與y=-loga（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個不同的交點，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：
34
＜a＜2，
則a的取值范圍是（
34
，2）
故答案為（1）：-9；（
34
，2）．
點評：本題考查指數函數與對數函數的圖象與性質，以及基本不等式的應用，（1）的關鍵是根據題意，求出g（x）的解析式，其次要注意題意中a＜0，b＜0的條件，要配湊基本不等式成立的條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數．

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