Question

【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)到直線 的距離為 ，離心率 ，A，B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，（其中λ為常數(shù)）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)λ=1且直線AB與OP斜率均存在時(shí)，求|kAB|+|kOP|的最小值；
（3）若G是線段AB的中點(diǎn)，且kOAkOB=kOGkAB ， 問是否存在常數(shù)λ和平面內(nèi)兩定點(diǎn)M，N，使得動(dòng)點(diǎn)P滿足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定點(diǎn)M，N；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設(shè)可知： ，解得 ，b=2．

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則由 ，得P（x1+x2，y1+y2）．

∴ ．

由|kAB|∈（0，+∞）得， ，

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號

（3）解：∵ = ．

∴ ．∴4x1x2+9y1y2=0．

設(shè)P（x，y），則由 ，

得（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），

即x=x1+λx2，y=y1+λy2．

∵點(diǎn)A、B在橢圓4x2+9y2=36上，

∴4x2+9y2=36+36λ2+2λ（4x1x2+9y1y2）．

∴4x2+9y2=36+36λ2．

即 ，

∴P點(diǎn)是橢圓 上的點(diǎn)，

設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為M、N，

則由橢圓的定義PM+PN=18，得18= ，

∴ ， ， ．

∴存在常數(shù)λ= ，和平面內(nèi)兩定點(diǎn)M（ ，0），N（ ，0），使得動(dòng)點(diǎn)P滿足PM+PN=18

【解析】（1）由已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，把λ=1代入 ，求得P的坐標(biāo)，求出AB、OP的斜率并作積，結(jié)合絕對值的不等式求解|kAB|+|kOP|的最小值；（3）設(shè)P（x，y），則由 ，得x=x1+λx2 ， y=y1+λy2 ． 再由點(diǎn)A、B在橢圓4x2+9y2=36上，得到 ，說明P點(diǎn)是橢圓 上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為M、N，則由橢圓的定義PM+PN=18，得18= ，由此求得λ值．