Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明．

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞減函數(shù)；（2）；（3）當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題（1）設(shè)，利用單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由得，變形為，即，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由可得變?yōu)?/span>，令的圖象及直線，

根據(jù)圖象即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：證明：設(shè)，則

=

又，所以，，

所以

所以，即，

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減的》

(2)由得，

變形為，即

而，

當(dāng)即時(shí)，

所以．

（3）由可得（），變?yōu)?/span>（）

令的圖像及直線，

由圖像可得：

當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．