Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=120°．過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則

|MN|

|AB|

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答： 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
∴

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，
即

|MN|

|AB|

的最大值為

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求

|MN|

|AB|

的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．