Question

【題目】已知離心率為2的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)分別為的左右頂點(diǎn)，為異于一點(diǎn)，直線與分別交軸于兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率求得的關(guān)系式，利用焦點(diǎn)到漸近線的距離列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得雙曲線方程.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求得和的方程，進(jìn)而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)和直徑長(zhǎng)求得圓的方程.令求得兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)：，

因?yàn)殡x心率為2，所以，．

所以的漸近線為，

由，得．

于是，，

故的方程為．

（2）設(shè)（），

因?yàn)?/span>，，

可得直線與方程為，．

由題設(shè)，所以，，，中點(diǎn)坐標(biāo)，

于是圓的方程為．

因?yàn)?/span>，所以圓的方程可化為．

當(dāng)時(shí)，，因此經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)和．