Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+

π

3

），由此求得函數(shù)的最小正周期．
（2）要使f（x） 遞增，必須使 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=2sin（2x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（2）要使f（x） 遞增，必須使 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及求法，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．