Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

3

，且S_n=n（2n-1）a_n，
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）歸納{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=n（2n-1）a_n，所以a₁=s₁，a₂=s₂-s₁，a₃=s₃-s₂，a₄=s₄-s₃這樣，就可根據(jù)a₁求a₂，a₃，a₄的值．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）找規(guī)律，a₁，a₂，a₃，a₄都可寫(xiě)成分子是1，分母是相鄰兩奇數(shù)之積的形式，所以可歸納{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1

(2n-1)(2n+1)

，再用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明．

解答：解：（Ⅰ）a₁+a₂=2（2×2-1）a₂，因?yàn)?span id="zlpn11t" class="MathJye">a1=

1

3

，
所以a2=

1

3×5

=

1

15

，a₁+a₂+a₃=3（2×3-1）a₃，解得a3=

1

5×7

=

1

35

，
同理a4=

1

7×9

=

1

63

．…（6分）
（Ⅱ）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以歸納出 an=

1

(2n-1)(2n+1)

．
當(dāng)n=1時(shí)，x1=

1

(2×1-1)(2×1+1)

=

1

3

，與已知相符，歸納出的公式成立．
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，公式成立，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

．
由S_n=n（2n-1）a_n可得，a_k+1=S_k+1-S_k=（k+1）（2k+1）a_k+1-k（2k-1）a_k．
即 ak+1=

2k-1

2k+3

ak=

2k-1

2k+3

•

1

(2k-1)(2k+1)

=

1

(2k+1)(2k+3)

．
所以ak+1=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

．
即當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立．
綜上，an=

1

(2n-1)(2n+1)

對(duì)于任何n∈N^*都成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用不完全歸納法歸納數(shù)列通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法．