Question

5．在四棱錐V-ABCD中，B₁，D₁分別為側(cè)棱VB、VD的中點(diǎn)，則四面體AB₁CD₁的體積與四棱錐V-ABCD的體積之比為（　�。�

• A． 1：6
• B． 1：5
• C． 1：4
• D． 1：3

Answer 1

分析 棱錐A-B₁CD₁的體積可以看成四棱錐P-ABCD的體積減去角上的四個(gè)小棱錐的體積得到，由B₁，D₁分別為側(cè)棱VB、VD的中點(diǎn)，得到棱錐B₁-ABC的體積與棱錐D₁-ACD的體積和為四棱錐V-ABCD的體積的$\frac{1}{2}$；棱錐B₁-VAD₁的體積與棱錐B₁-VCD₁的體積和為四棱錐V-ABCD的體積的$\frac{1}{4}$．由此可得答案．

解答 解：如圖，

棱錐A-B₁CD₁的體積可以看成是四棱錐V-ABCD的體積減去角上的四個(gè)小棱錐的體積得到，
∵B₁為PB的中點(diǎn)，D₁為PD的中點(diǎn)，
∴棱錐B₁-ABC的體積是棱錐V-ABC體積的$\frac{1}{2}$，棱錐D₁-ACD的體積是棱錐V-ACD的體積的$\frac{1}{2}$，
∴棱錐B₁-ABC的體積與棱錐D₁-ACD的體積和為四棱錐V-ABCD的體積的$\frac{1}{2}$；
棱錐B₁-VAD₁的體積是棱錐B-VAD體積的$\frac{1}{4}$，棱錐B₁-VCD₁的體積是棱錐B-VCD體積的$\frac{1}{4}$，
∴棱錐B₁-VAD₁的體積與棱錐B₁-VCD₁的體積和為四棱錐V-ABCD的體積的$\frac{1}{4}$．
則中間剩下的棱錐A-B₁CD₁的體積V=四棱錐P-ABCD的體積-$\frac{3}{4}$個(gè)四棱錐P-ABCD的體積
=$\frac{1}{4}$個(gè)四棱錐P-ABCD的體積，
則兩個(gè)棱錐A-B₁CD₁，P-ABCD的體積之比是1：4．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，利用分割法進(jìn)行分割，是解題的關(guān)鍵，是中檔題．