Question

3．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則當CQ∈（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}．時，S為四邊形；當CQ=$\frac{1}{2}$時S為等腰梯形；當CQ=1時，S的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 當CQ=$\frac{1}{2}$時，即Q為CC₁中點，PQ∥AD₁，AP=QD₁，從而得到截面APQD₁為等腰梯形；當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$或CQ=1時，只需在DD₁上取點M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM；當CQ=1時，取A₁D₁的中點F，連接AF，截面為APC₁F為菱形，由此能求出其面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

解答 解：如圖，當CQ=$\frac{1}{2}$時，即Q為CC₁中點，
此時可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{12+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，
∴當CQ=$\frac{1}{2}$時，S為等腰梯形；
由上圖當點Q向C移動時，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$或CQ=1時，
只需在DD₁上取點M滿足AM∥PQ，
即可得截面為四邊形APQM，
∴當CQ∈（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}時，S為四邊形；
當CQ=1時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，
由已知得PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，
故其面積為$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故當CQ=1時，S的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]∪{1}；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查平面截正方體所得的截面的形狀的判斷及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．