Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+2|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥5對(duì)?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）≥5?f（x）=2|x+1|+|x-1|≥5，對(duì)x分x＜-1，-1≤x≤1，x＞1三類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可解得不同情況下的解集，再取并集即可；
（2）不等式f（x）≥5?x∈R對(duì)恒成立??x∈R，f（x）_min≥5；分a＞1、a=1、a＜1三類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，可分別求得其最小值，最后取其并集即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）≥5?f（x）=2|x+1|+|x-1|≥5，
①當(dāng)x＜-1時(shí)，不等式可化為：

x＜-1 -2(x+1)-(x-1)≥5

，
解得：x≤-2；
②當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，不等式化為：

-1≤x≤1 2(x+1)-(x-1)≥5

，解得：x∈∅；
③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式化為：

x＞1 2(x+1)+(x-1)≥5

，解得：x≥

4

3

，
∴當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）≥5的解集為：（-∞，-2]∪[

4

3

，+∞）；
（2）不等式f（x）≥5?x∈R對(duì)恒成立，即?x∈R，f（x）_min≥5．
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=

-3x+1+2a，x＜1 -x-1+2a，1≤x≤a 3x-1-2a，x＞a

，
∴f（x）_min=a-1≥5，即a≥6；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

-3x+3，x＜1 3x-3，x≥1

，
∴f（x）_min=0，不符合；
當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）=

-3x+1+2a，x＜a x+1-2a，a≤x≤1 3x-1-2a，x＞1

，
∴f（x）_min=-a+1≥5，即a≤-4，
綜上所述，a≤-4或a≥6．

點(diǎn)評(píng)：不同考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類(lèi)討論思想與方程思想的綜合運(yùn)用，通過(guò)分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，屬于中檔題．