Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅
（2）利用（1）的結(jié)論，猜想數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式（不必證明）；
（3）利用（2）的結(jié)論，試用含有n的代數(shù)式表示a_n+1-a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知的遞推公式分別求之；
（2）觀察前5項(xiàng)的規(guī)律，得到一個(gè)通項(xiàng)公式；
（3）利用（2）的結(jié)論求之．

解答 解：（1）由已知a₂=$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$，a₅=$\frac{1}{3}$；
（2）利用（1）的結(jié)論，猜想數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（3）由（2）得a_n+1-a_n=$\frac{2}{n+2}-\frac{2}{n+1}$=$\frac{-2}{（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，屬于基礎(chǔ)題．