Question

5．在數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n+1=a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹可知a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，從而a_n-a_n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，a_n-1-a_n-2=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，…，a₂-a₁=（-$\frac{1}{2}$）²，利用累加法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=a_n+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-a_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，a_n-a_n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，a_n-1-a_n-2=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，…，a₂-a₁=（-$\frac{1}{2}$）²，
累加得：a_n-a₁=（-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$）³+…+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{（-\frac{1}{2}）^{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{1}{6}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]，
∴a_n=a₁+$\frac{1}{6}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]=$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{6}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，利用累加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．