Question

5．已知M（a，2）是拋物線y²=2x上的一定點，直線MP、MQ的傾斜角之和為π，且分別與拋物線交于P、Q兩點，則直線PQ的斜率為（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 將M代入拋物線求出a，利用直線MP，MQ的傾斜角的和為π，則其斜率互為相反數(shù)，設(shè)出MP的方程，將方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出P的縱坐標(biāo)與k的關(guān)系；同理得到Q的縱坐標(biāo)與k的關(guān)系；利用兩點連線的斜率公式求出PQ的斜率．

解答 解：將（a，2）代入拋物線方程得a=2，即M（2，2）．
設(shè)直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為-k，
設(shè)p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
直線MP的方程為y-2=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消x得，ky²-2y+4-4k=0，
由韋達(dá)定理得y₁+2=$\frac{2}{k}$，
同理y₂+2=-$\frac{2}{k}$，
∴y₁+y₂=-4，
∴PQ的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}}$
=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{-4}$=-$\frac{1}{2}$．
故選B．

點評 本題考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用的方法是將它們的方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理得到交點的坐標(biāo)的關(guān)系、考查兩點連線的斜率公式．