Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a，b，c∈R，且滿足a＜b＜c，f（1）=0．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）與g（x）圖象交于不同的兩點A，B．
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是-19，最大值為-6，試求a，b的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令ax+bx+c=-bx，利用判別式，即可證明；
（Ⅱ）確定函數(shù)F（x）的圖象的對稱軸方程為x=-

2b

a

＜1，a＜0，利用函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值是-19，最大值為-6，即可求a，b的值．

解答： （Ⅰ）證明：令ax+bx+c=-bx，即ax²+2bx+c=0
△=4b²-4ac=4（b²-ac） …（2分）
由f（1）=0得a+b+c=0，而a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，即ac＜0，
∴△=4（b²-ac）＞0
∴函數(shù) f（x）與g（x）圖象交于不同的兩點A，B…（6分）
（Ⅱ）解：由題意知，F(xiàn)（x）=ax²+2bx+c，
∴函數(shù)F（x）的圖象的對稱軸方程為x=-

2b

a

又a+b+c=0，∴x=-

2b

a

＜1…（8分）
又a＜0，∴F（x）在[2，3]單減，
∴F（3）=-19，F(xiàn)（2）=-6…（10分）
即

9a+6b+c=-19 4a+4b+c=-6 a+b+c=0

，∴

a=-3 b=1

…．…．…（12分）

點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．